~ていたでしょう Кто-нибудь, обЪясните, пожалуйста, значение этой конструкции в японском языке и когда она используется.

Я не знаю, как грамотно объяснить моим неграмотным русским языком, надеюсь, вы поймете.

～て（で）いた　+　でしょう （で или　て-- это зависит от глагола)

～て（で）いた -- здесь いた придет после глагола, с которым вместе обозначает, что действие в продолжительном состоянии в прошлое время. Если не в прошлом, а в настоящее время, то будет ～ている.
I'm watching TV -- わたしは　テレビを　みている。сейчас
I was watching TV ーーわたしは　テレビを　みていた。в то время
----------------------
～でしょう　-- выражает сомнение или предположение с большой субъективной уверенностью и в уважетельной форме. (если не в уважительной форме, то будет ～いただろう）

Например, человек А спрашивает В, чем В занимался в комнате, сомневаясь, что В смотрел телевизор. а В отвечает, что он спал. Тогда А с уверенностью переспрашивает В : "Думаю что, что вы смотрели телевизор только что. " -- это по-японски будет --
あなたはいまテレビをみていたでしょう？
если не в уважительной форме, то будет --
あなたはいまテレビをみていただろう？
----------------------------------------------------------
Если наливаешь воду, то станет большим. (с большой субъективной уверенностью)
みずを　そそいだら　おおきく　なるでしょう。