датский язык похож на шведский?

На письме датский и шведский языки имеют много общего. Если вы прилично знаете один из этих языков, то без проблем сможете понять смысл текста на другом. А вот произношение отличается радикально. Зная датский вы поймете большую часть из сказанного шведом, так как у шведов очень четкое и понятное произношение. А вот зная шведский понять датчанина будет непросто без дополнительного усилия - тут виноваты особенности датского произношения, которое представляет собой глухое и монотонное бормотание чего-то там себе под нос с пропуском большей части букв в словах и даже целых слов в предложениях.

Вообще же, если вы хотите наименьшими усилиями понимать и шведский и датский, то советую вам заняться норвежским. Основной и один из двух официальных письменных вариантов норвежского языка (norsk bokmål) является по сути датским языком, взятым норвежцами на вооружение, когда Норвегия и Дания входили в Датско-Норвежскую унию, с очень незначительными и очень регулярными отличиями (например vann "вода" по-норвежски, vand - по-датски, vertinne "хозяйка" по-норвежски и værtinde по-датски, ha - "иметь" по-норвежски и have - по-датски). Так что выучив норвежский вы будете понимать 99% текста на датском. На самом деле, на письме эти языки гораздо ближе, чем русский и белорусский например. В то же время, норвежский и шведский языки очень близки по фонологии. Норвежцы и шведы понимают друг друга без проблем, а иногда оба языка сливаются в так называемый svorsk (svenska+norsk), когда невозможно понять, на каком языке человек говорит: шведском или норвежском. Норвежская радиовещательная корпорация NRK большую часть программ в течение дня транслирует на шведском языке без перевода (датский язык, как правило, тоже не переводится).