Стороны прямоуг треуг выражены целыми числамиДокажите что радиус вписаннойокружности тоже выражается целым числом

Пусть у треугольника катеты равны a и b.
Радиус вписанной окружности равен r. Площадь равна S. Периметр треугольника равен p.
a*b/2=S;
S=p*r/2.

a*b/2=S=p*r/2
Из этого следует, что r=a*b/p. Учитываем то, что p=sqrt(a^2+b^2)+a+b.(треугольник-прямоугольный.)
Домножим числитель и знаменатель на одно и то же число.
r=ab/(sqrt(a^2+b^2)+a+b)=[ab*(a+b-sqrt(a^2+b^2)]/[(a+b-sqrt(a^2+b^2)*(a+b+sqrt(a^2+b^2)]
Учтём, что sqrt(a^2+b^2)=c - гипотенузе, и применим это в числителе.
r=ab*(a+b-c)/[2ab]=(a+b-c)/2
Выражение в числителе было сокращено формулой разности квадратов до (a+b)^2-a^2-b^2=2ab.

Если стороны - целые числа, то a+b-c является чётным целым числом.

Из теоремы Пифагора: если оба катета чётной длины, то сумма их квадратов чётная => с-четное => a+b-c=чёт+чёт-чёт=чёт.
если оба катета нечётной длины, то сумма их квадратов чётная => с-четное => a+b-c=нечёт+нечёт-чёт=чёт.
если катета чётной и нечётной длины, то сумма их квадратов нечётная => с-нечетное => a+b-c=нечёт+чёт-нечёт=чёт.

Следовательно r=(a+b-c)/2=целое.