Определите часть речи выделенных слов.

1. Слово категории состояния. 2. Наречие. 3. Краткое прилагательное.

Есть три грамматических омонима (омоформы) РАДОСТНО:
◆ краткое прилагательное;
◆ наречие;
◆ слово категории состояния.

Эти омоформы и употреблены в данных в НЕВОПРОСЕ предложениях.

КРАТКОЕ ПРИЛАГАТЕЛЬНОЕ РАДОСТНО употреблено в предложении № 3. Мамино лицо РАДОСТНО.

Слово РАДОСТНО в этом предложении – КРАТКОЕ ПРИЛАГАТЕЛЬНОЕ, так как:
◆ на вопрос КАКОВО ЛИЦО? отвечает (полная форма, РАДОСТНОЕ, – на вопрос КАКОЕ? начальная форма, РАДОСТНЫЙ, – на вопрос КАКОЙ?);
◆ обозначает признак предмета (лица);
◆ в краткой форме изменяется по числам (радостно – радостны), а в единственном числе – по родам (радостно – радостен, радостна);
◆ в предложении является сказуемым при подлежащем ЛИЦО (лицо каково? радостно).

НАРЕЧИЕ РАДОСТНО употреблено в предложении № 2. Это известие РАДОСТНО подействовало на всех присутствующих.

В этом предложении слово РАДОСТНО – наречие, так как:
◆ относится к глаголу ПОДЕЙСТВОВАЛО;
◆ на вопрос КАК, КАКИМ ОБРАЗОМ ПОДЕЙСТВОВАЛО? отвечает;
◆ обозначает признак действия;
◆ не изменяется;
◆ в предложении выполняет роль обстоятельства образа действия (подействовало как? каким образом? радостно).

№ 1. На душе у меня сегодня РАДОСТНО. А в этом предложении РАДОСТНО – СЛОВО КАТЕГОРИИ СОСТОЯНИЯ, так как:
◆ обозначает душевное состояние человека;
◆ на вопросы КАК? КАКОВО? отвечает (как, каково на душе? радостно);
◆ не изменяется;
◆ является сказуемым в предложении без подлежащего (с 8-го класса говорят точнее: является сказуемым в односоставном безличном предложении).