Сколько стоит сделать доверенность у нотариуса, что мне можно поехать в другой город? 18 лет нету, на кого ее делать?

Никакой доверенности тебе не дадут до совершеннолетия.

Доверенностей на людей не бывает.
Для передвижения в пределах страны никаких дополнительных разрешений не требуется. Нужен только паспорт.

Из Новокузнецка в Краснодар бумага может понадобиться - если поедешь на поезде и он пойдёт через Казахстан. Только это не доверенность, а согласие родителей на выезд чада за границу. Однако вполне можно доехать и в обход. Тогда ничего не понадобится.