Необходимо ли присутствие родителя с ребёнком 16 лет для подачи заявления на шенген в консульстве?

Да.

Да, конечно. Отпечатки пальцев-то кто за него сдавать будет?

Да, если у вас общая поездка. У семей паспорта для визы принимают, отправляют и выдают вместе. Если ребенок едет без родителей, со своим паспортом, оформляет визу только на себя, то не нужно. Если он самостоятельный, умеет себя вести и понимает, где находится.