Можно ли ребенку 4 лет пересекать границу Казахстана и России с бабушкой, при наличии доверенности только от матери?

Можно, если нет официального несогласия отца, только не доверенность а нотариально заверенное согласие родителей

можно

Можно. Только не при наличии доверенности, а при наличии нотариально заверенного согласия. Доверенности на людей не существует...