Как рассчитать нагрузку

Составить математическую модель.

Например, если упростить, то пусть он упирается только головой. Следовательно, подголовник действует на него силой, направленной на 10 градусов от горизонтали.
Также, пусть вся его верхняя часть весит 25 кг.

Так что нужно нарисовать картинку со всеми приложенными силами, спроектировать их на оси, написать три уравнения равновесия, и оттуда вычислить.

Обычная задача по теоретической механике.

Данных не хватает. Например, положение центра тяжести сидящего. Да и ширина стула.

Я правильно понимаю задачу так, что вопрос на самом деле про то, отломается спинка стула или нет, если на нее опереться? (т. е. "ножка", про которую идет речь - это на самом деле вся вертикальная стойка, образующая и ножку, и боковину спинки стула?)

Если так, то это стандартная сопроматовская задача:
1) вертикальную стойку можно считать консольной балкой (один конец свободен, другой жестко закреплен (у сиденья стула)),
2)на расстоянии высоты центра масс верхней половины человека (которая и опирается на спинку) на нашу балку действует поперечная сила mg*sin(a), где m - масса верхней половины человека, а "a" - угол наклона спинки к вертикали,
3) Отсюда имеем изгибающий момент у основания балки.
4) По форме, размерам и материалу балки и по сопроматовским формулам из справочника можно посчитать максимальный выдерживаемый изгибающий момент и сравнить с полученным в расчетах.
5) По другим формулам из сопроматовского справочника можно оценить, насколько данная "балка" изогнется под действием данной силы.

P.S. Чуть более точный расчет - с распределенной силой (для этого в справочнике даны чуть другие формулы): можно считать, что верхняя половина тела человека давит на спинку равномерно по всей своей длине.

P.P.S. Хотя, действительно, разумным будет расчет "наихудшего случая", когда человек всей своей массой опирается на дальнюю точку спинки (условно, "подголовник").