Чем отличается непрерывност от равномерной непрерывности у функций?

Определения и теоремы в лекциях или учебнике сами посмотрите. Чтоб прочувствовать отличия, желательно бы самостоятельно понять/проделать следующее:

На метрическом компакте это одно и то же (т. Кантора-Гейне). В случае пространства R^n компактность эквивалентна замкнутости + ограниченности.
Чтоб построить хорошие примеры функций, являющихся непрерывными в каждой точке множества, но не являющихся равномерно непрерывными на рассматриваемых множествах, стройте (в матане) два:

- на множестве, не являющимся замкнутым - например, 1/x или sin(1/x) на множестве (0, 1]
- на множестве, не являющимся ограниченным - например, x^2 на множестве [0, +беск)

И еще желательно построить пример равномерно непрерывной функции, не являющейся липшицевой.
Например, sqrt(x) на множестве [0, 1] - у нее в нуле производная стремится к бесконечности.

И тогда вы усё поймете, наверное.