Может ли врач при выезде на дом выписать справку о болезни?

Смотря о чём справка. Обычно вызов на дом делается тогда, когда вы заболели и не можете идти ни в поликлинику, ни на работу. В этом случае освобождение от работы будет не на один день, а уж минимум на 2-3 дня. Поэтому врач делает в вашей карте запись о состоянии, назначает дату явки в поликлинику. А при явке и выздоровлении - уже выдаёт справку или закрытый больничный (либо продлевает больничный, если вы ещё не выздоровели). На справку или больничный ставится печать - в страховом столе поликлиники (выдача этих документов регистрируется в специальном журнале). Поэтому на дому врач справки не выписывает.
Бригада скорой никаких документов не выдаёт, только оказывает неотложную и экстренную помощь и передаёт сведения о факте вызова в поликлинику (сигнальный талон), либо госпитализирует, если есть необходимость.