Подскажите пожалуйста как лучше подбирать себе жилье в путешествии по Азербайджану, что бы было безопасно и не дорого?

С универсальных вариантов это Booking (отели) и AirBnB (квартиры и комнаты у частников) - но средние цены там ощутимо выше рыночных, считайте как для американцев. С самых выгодных вариантов можно выбрать сайты аренды недвижимости, например https://bina.az/. Предложений там занчительно больше и цены на уровне рыночных, но если сервис будет не очень то отзыв уже никому не оставите. Что выбирать решать уже вам)

побывал во многих странах. при выборе отеля, всегда пользовался сайтом Booking. Советую его. Да и в Азербайджане не так опасно.