По поводу кандзи (иероглифов). Нужно ли учить все чтения (т. е. и кунное, и онное)?

Учить нужно прежде всего слова. Здесь ситуация чем-то похожа на английский язык: правила-то есть, но исключений очень много. Кроме того, бывают как разные слова, пишущиеся одинаково (такое есть и в английском), так и несколько вариантов написания одного и того же слова.
Ни в коем случае не следует пытаться выучить на начальном этапе все чтения и значения знака. Нужно учить основные. Это как словарь-минимум: существуют списки наиболее употребительных иероглифов с наиболее употребительными чтениями и значениями. Лично мне нравится пособие Essential kanji автор P.G. O'Neil. Существуют также рекомендации на этот счёт от Министерства образования Японии.
В заключение подчеркну: надёжных правил чтения нет, особенно "плохо" дело обстоит с чтением имён собственных. Видел японский форум, где носители обсуждают, как следует читать то или иное слово. Существуют также сайты, где кандзи переводят в хирагану.
Кстати, и онов и кунов может быть несколько, кроме того могут быть чтения, не вписывающиеся в схему "он-кун".
В заключение снова подчеркну: учить надо слова, изучение иероглифики носит вспомогательный характер. Ситуация чем-то похоже на ситуации с русскими словами из латинских и греческих корней: знание значений корней полезно, но значение слова далеко не всегда исчерпывающим образом определяется по значению корней, из которых оно состоит.