Существует ли суффикс -ш- ?

Есть, выше ошиблись!

1) при добавлении к основе глагола прошедшего времени на согласную образует действительное причастие прошедшего времени совершенного и несовершенного вида
замёрзнуть → замёрз → замёрзший
жечь → жёг → жёгший
лечь → лёг → лёгший
нести → нёс → нёсший

2) при добавлении к основе глагола настоящего времени на -т-, -д- глаголов на -сти образует действительное причастие прошедшего времени совершенного и несовершенного вида
вести → веду → ведший
обрести → обрету → обретший

3) при добавлении к основе существительного мужского рода, обозначающего род деятельности или чин образует существительного женского рода (обычно — разг.) со значением «женщина, занимающаяся этим видом деятельности, обладающая этим чином или являющаяся женой мужчины, занимающегося этим видом деятельности или обладающего этим чином»
доктор → докторшa
бухгалтер → бухгалтершa
губернатор → губернаторшa
барон → бароншa

4) при добавлении к основе прилагательного образует прилагательное превосходной степени высокий → высший
низкий → низший