Почему в заявлении об увольнении по собственному желанию обычно пишут "Прошу уволить меня по собственному желанию..."?

МОжете написать - ТРЕБУЮ.

"Прошу" это просто вежливое обращение. А как советуете переделать "Требую" или "Срочно немедленно увольте меня"?

А с чего это работодатель должен писать "В просьбе отказать", сейчас как вы правильно заметили крепостное право отменили, и никто никого не держит.

Пережитки.

Потому что после заключения трудового договора, как у работника, так и у работодателя, кроме прав, возникают еще и обязанности... У тебя, например, возникла обьязанност предупредить работодателя за 14 дней о своем намерении уволится... Трудовой договор ты подписывал сам, тем самым ДОБРОВОЛЬНО взв на себя обязанности перед работодатиелем, одну из которых (не самую сложную) я привел выше...
P.S. Заявление об увольнении не имеет стандартного образца, и твое право указать там любую причину...

На Ваш вопрос - ответ в "Трудовом кодексе РФ" от 30.12.2001 N 197-ФЗ (ред. от 29.07.2017) (с изм. и доп., вступ. в силу с 01.10.2017)
Статья 80. Расторжение трудового договора по инициативе работника (по собственному желанию)
Работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели, если иной срок не установлен настоящим Кодексом или иным федеральным законом. Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении.
По соглашению между работником и работодателем трудовой договор может быть расторгнут и до истечения срока предупреждения об увольнении.
В случаях, когда заявление работника об увольнении по его инициативе (по собственному желанию) обусловлено невозможностью продолжения им работы (зачисление в образовательную организацию, выход на пенсию и другие случаи), а также в случаях установленного нарушения работодателем трудового законодательства и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права, локальных нормативных актов, условий коллективного договора, соглашения или трудового договора работодатель обязан расторгнуть трудовой договор в срок, указанный в заявлении работника.
До истечения срока предупреждения об увольнении работник имеет право в любое время отозвать свое заявление. Увольнение в этом случае не производится, если на его место не приглашен в письменной форме другой работник, которому в соответствии с настоящим Кодексом и иными федеральными законами не может быть отказано в заключении трудового договора.
*** По истечении срока предупреждения об увольнении работник имеет право прекратить работу. В последний день работы работодатель обязан выдать работнику трудовую книжку, другие документы, связанные с работой, по письменному заявлению работника и произвести с ним окончательный расчет.
Если по истечении срока предупреждения об увольнении трудовой договор не был расторгнут и работник не настаивает на увольнении, то действие трудового договора продолжается.

Так можно и требую написать, на самом деле без разницы! Просто это как-то вежливее. А вообще есть стандартные нормы, можно сказать даже образцы, как правильно заполнять. Об этом подробнее можно прочитать вот здесь: https://bukvaprava.ru/2018/03/22/kak-pravilno-pisat-zayavlenie-ob-uvolnenii/ Там как раз расписываются эти моменты! Рекомендую прочитать. Удачи!