доказать, что непрерывность элементарных функций

Непрерывность основных элементарных функций надо доказывать конкретно для каждой отдельно. И это делается в любом нормальном учебнике по анализу.
Основные функции: x^n, sin x, e^x. Остальные функции получаются с помощью комбинаций данных и теоремы о непрерывности обратной функции.