Сохраняет ли за собой право избирать и быть избранным гражданин РФ?

да

смотря куда быть избранным

нет он бежал из России

Для избрания президентом нужен определенный срок проживания на территории РФ.

Избирать сохраняет. Для них на федеральных выборах в консульствах избирательные участки открывают. А на региональные и местные нужно приезжать. Быть избранным -- зависит от того, куда или на какую должность, а также от наличия или отсутствия у него второго гражданства.

все права сохраняет хоть на Луне находится