Задача для продвинутого семиклассника. Как её решить, не выходя за рамки курса геометрии 7 класса?

Question

Задача для продвинутого семиклассника. Как её решить, не выходя за рамки курса геометрии 7 класса?

Александр Титов Гений (52049), закрыт 4 года назад

Дан равнобедренный треугольник ABC (AB = AC) с углом против основания 20°.
На стороне AB взята точка D, такая, что AD = 2BC.
Из точки D проведён перпендикуляр DN к стороне AC.
Требуется доказать, что NC = BC.

Тривиальная формулировка. Если на боковой стороне равнобедренного треугольника с углом против основания 20° отложить отрезок, равный двум основаниям, и из конца отрезка опустить перпендикуляр к другой боковой стороне, то основание этого перпендикуляра отсечёт отрезок, равный основанию.

Десятиклассник вполне справится с этой задачей. А сможет ли с ней справиться семиклассник? Если сможет, то как?
Без всяких синусов и косинусов. Можно использовать дополнительные построения. Можно использовать подобие треугольников. Но не тригонометрию.

Рисунок прилагается.

Дополнен 4 года назад

Задача возникла в процессе решения другой задачи, где потребовалось доказать такое равенство. Но это удалось сделать только тригонометрическим способом.

Answer 1

Александр Шмуратко Мыслитель (9471) 4 года назад

Можно так:
.

Александр ТитовГений (52049) 4 года назад

Разобрался. Многое завуалировано, но противоречий не нашёл. Всё верно.

Вот мой способ.

Проводим медиану NR в тр-нике ADN (как и у Вас) и далее как по рисунку (+)
Правда, доказательство опиралось на тот факт, что угол CRB = 30°

Это доказывается здесь: https://www.youtube.com/watch?v=S6ZOv3aWQ6M

В комментариях к видео можно найти более простые доказательства, чем в самом видео.
В оригинале задачи требовалось найти угол BDC, но он получался иррациональным, и эта задача была для семиклассника некорректной. А уже отсюда появилась и задача в моём в опросе, с помощью которой получается ответ в той одним из самых простых способов.

Вот рисунок. Совсем уж очевидные рассуждения пропущены.

Ромашкина Мудрец (12834) во-первых не угол RCB равен 30°. угол RCB у тебя 70° а во-вторых, я не поняла, как ты угол DRN разбил на 30° и 10°? *** в лучшем ответе тоже самое: получили равносторонний треугольник со стороной а. и что дальше?

Answer 2

Александр Федоров Искусственный Интеллект (188929) 4 года назад

о как все сложно -завтра

Answer 3

Элементарная школьная устная задача. Никакой продвинутости. Тригонометрия не нужна.
Для сегодняшних митрофанушек и липовых экспертов, безусловно, это олимпиадная задача.

Answer 4

Tanza Kosta Гений (74762) 4 года назад

Надо опустить высоту из точки В к АС и рассмотреть подобие треуг

Евгений ФёдоровГений (57854) 4 года назад

Бредятина.

Александр ТитовГений (52049) 4 года назад

Но что это даст?

Answer 5

Anton Искусственный Интеллект (107944) 4 года назад

нет. извините, без тригонометрии у меня идей никаких..

Александр ТитовГений (52049) 4 года назад

Ищите получше. Решение на уровне 7 класса точно есть. По крайней мере, одно.

РомашкинаМудрец (12834) 4 года назад

Антон... не сдавайся.
ну, пожалуйста...

Anton Искусственный Интеллект (107944) если только завтра

Answer 6

как всешда Ученик (183) 4 года назад

Отложите на стороне BC, за точку С, точку M, так чтобы : BC=MC.
Далее, треугольник BDN ~ MCN, откуда ∠DNB=∠CNM = 40°. Значит ∠BNC + ∠CNM=∠BNM=90°.
В прямоугольном треугольника BNM, NC -медиана, значит NC=BC.

Александр ТитовГений (52049) 4 года назад

Но почему треугольники BDN и MCN подобны? Откуда это следует?
Кроме того, легко доказать, что они на самом деле НЕ ПОДОБНЫ!
Подумайте, почему.
Подсказка: это треугольники с различными тупыми углами, которые не могут быть подобными.