Вопрос в области геометрии

Задача должна решаться с помощью особенным образом составленных матриц,
и ограничение на размерность пространства возникнет, если определитель
матрицы обращается в нуль. Поскольку задача предполагает от 1 до 3 размерностей,
можно поинтересоваться в справочниках или Википедии уравнением плоскости и его вырожденными вариантами.
Прежде всего желательно было бы определиться в какой точке назначить начало трехмерной системы координат. Если бы нам были даны координаты всех точек, было бы легче ориентироваться.
1) Если бы все координаты каждой сравниваемой пары составляли тройку чисел, пропорциональную тройке другой сравниваемой пары, то все точки лежали бы на одной прямой и минимальная размерность пространства была бы Rmin=1.
2) Если это не так, то найдутся три точки не лежащие на одной прямой, и они лежат в определенной плоскости, уравнение которой легко составить.
И тогда если любая из всего множества заданных точек удовлетворяет этому уравнению,
то значит они все лежат на этой плоскости и Rmin=2.
3) в противном случае Rmin=3.

Но заданы только длины отрезков. Поэтому проще задачу решать геометрически.
Мы знаем, что для построения треугольника по длинам 3-х его сторон необходимо, чтобы
любая сторона должна быть меньше суммы двух других. Если удастся найти такую тройку среди всех возможных троек, то Rmin>1.
Построим такой треугольник на плоскости и попытаемся добавить к нему ещё одну точку, связанную тремя новыми длинами с точками уже построенными.
То есть из 3-х вершин треугольника построим три сферы с радиусами, соотоветствующими новым длинам и найдем точку пересечения всех трёх сфер.
Она может оказаться на прежней плоскости и мы повторим построение сфер для следующей
заданной точки...
Если для какой-то точки точка пересечения сфер (сама эта точка) окажется над плоскостью, то Rmin>2, а значит Rmin =3.

Естественно, при большом количестве точек было бы проще формировать первую тройку точек, вычисление точки пересечения сфер и проверку совпадения точки с плоскостью алгебраическими вычислениями на компьютере, написав программу.
Рекомендую древний учебник Н. Мамардашвили по Аналитической геометрии