А почему Пушкин в романе «Евгений Онегин» подчёркивает, что Татьяна – русская душою? Какая в этом была необходимость?

"Как уст румяных без улыбки,
Без грамматической ошибки
Я русской речи не люблю".

Здесь Пушкин, сам (несмотря на "сложности с арифметикой") могущий служить примером точности, логичности и математической выверенности слова, предваряет развитие любовной истории Татьяны, манифестируя её иррациональность.

Без логики нет истории, без иррационального - она лишена смысла.

А любовная история - в особенности. Что здесь для Пушкина важнее, сама любовь или возможность с её помощью "коснуться души читателя"?

Сие мне неведомо. Ясно одно: любовь - прежде ума.

Почему Пушкину не нравится безошибочная речь? Потому, думаю, что она не выражает естественность русской души.

Строго говоря, это не обязательно так. Просто н е с п е ц и а л ь н ы е ошибки в устной (в наше время ещё при быстром обмене сообщениями) являются приметами естественности.

О русской душе Татьяны Пушкин говорит в определённый момент. Когда она радуется зиме.

И я бы не сказал, что он это именно подчеркивает:

"Татьяна (русская душою,
Сама не зная почему)
С ее холодною красою
Любила русскую зиму,
На солнце иний в день морозный,
И сани, и зарею поздной
Сиянье розовых..." - тут я хочу обратить Ваше внимание на сохранившиеся (что совершенно правильно) в переводе на современный русский "ошибки".

Благодаря тому, что мы видим происходящее со стороны (или сверху, или издалека), в контексте, уже заданном Пушкиным, радость её вполне понятна (даже несмотря на то, что само это слово не звучит). И мы также понимаем, что и з н у т р и эта радость "ничем не мотивирована".

Дело не в красоте русской зимы, чему Пушкин посвящает отдельную строфу, и не в долгом её ожидании...

Дело вообще "ни в чём". Со стороны всё можно объяснить, да, но изнутри, самой Татьяне, объяснение не требуется. Иррациональность (мистичность, если хотите) любви к зиме - это последнее слово зачеркнуть.

Слова о русской душе Татьяны подчёркивают не русскую душу.

Они подчёркивают естественность её чувств - и оправдывают их иррациональность - усиленную затем "сама не зная почему".