В правильной треугольной пирамиде двугранный угол при основании равен альфа.

Проекция расстояния от стороны основания до заданной точки, взятой на высоте, на основание пирамиды будет такой: a*cos(α/2)
Половина стороны основания будет такой: a*cos(α/2)*tg60 = a*sqrt(3)*cos(α/2)
Следовательно, вся сторона основания будет такой: 2a*sqrt(3)*cos(α/2)
Площадь основания будет такой: S = 3sqrt(3)*a²cos²(α/2)

Высоту выразим из равенства: tg(90-α) = ctgα = 1/tgα = a*cos(α/2)/H
H = a*cos(α/2)*tgα

Объем пирамиды будет такой: V = S*H/3 = sqrt(3)*a³cos³(α/2)*tgα
sqrt(3) - это корень квадратный из числа 3.