В тюрьму сажают психов?

Смотря что иметь в виду под словом «псих».
Официально признанных психически больными — лечат по решению суда, если причиной преступления стала болезнь. А практически — далеко не каждый преступник проходит психиатрическую экспертизу, и не каждому прошедшему её удаётся доказать серьёзность патологии.
Думаю, психически больны подавляющее большинство из совершивших тяжкие преступления, не связанные с мошенничеством, взяточничеством и прочей лёгкой и бескровной наживой.