где в реальной жизни применяются комплексные числа?

Нигде... Вспоминается анекдот...

Встречает мастер своего преподавателя по вышке лет через восемь после окончания вуза, разговорились, вспомнили время былое. Профессор спрашивает:
- Вот я вам читал три года высшую математику, скажи, в жизни тебе мои знания когда-нибудь пригодились?
Студент, подумав:
- А ведь был один случай.
- Очень интересно, расскажи, я его буду на лекциях рассказывать, что высшая математика не такая абстрактная наука и в жизни бывает нужна .
- Шел я как-то по улице, и мне шляпу ветром в лужу сдуло. Так я взял кусок проволоки, загнул его в форме интеграла и шляпу достал

в электро-технических расчетах, первое что на ум пришло