Английское towel (полотенце) и русское туалет однокоренные ?

да

Конечно. В Древней Руси крестьяне ходили в сортир с английскими полотенцами... оттуда и пошло.

Да.
От одного германского, потом старофранцузского корня, который обозначал "полотно" -"toaille".
Сначала во французском туалет - просто угол, завешанный тряпками, в котором приводили себя в порядок. Не обязательно справляли потребности. Потом уже слово перешло в русский.