Нужно ли согласие второго родителя, если ребёнка регистрируют по другому адресу?

нет

Нет, конечно!
Вообще-то, действительно, согласно п. 3. ст. 65 СК РФ "Место жительства детей при РАЗДЕЛЬНОМ проживании родителей устанавливается соглашением родителей. При отсутствии соглашения спор между родителями разрешается судом, ..".
НО ...регистрация по месту жительства или пребывания) это предусмотренный федеральным законом способ учета граждан в пределах РФ, носящий УВЕДОМИТЕЛЬНЫЙ характер и отражающим факт НАХОЖДЕНИЯ гражданина по месту пребывания и жительства (так это определил Конституционный Суд РФ от 29 мая 2003 г. N 209-О). Регистрирующие органы (сейчас –это тер. отделы МВД РФ) не наделены полномочиями контролировать соблюдение семейного законодательства и родительских прав (в ходе процедур регистрационного учета граждан), а также требовать от заявителей документы по своему усмотрению и сверх перечня, установленного нормативно.
Порядок регистрации несовершеннолетних по месту регистрации родителей (п. 28 и 29 Правил регистрации ...утв. Постановлением Правительства РФ от 17.07.1995 г. N 713) НЕ ПРЕДУСМАТРИВАЕТ предъявления каких-либо заявлений от второго родителя.
А в п. 2.2." Адм. Регламента МВД ...по регистрационному учету граждан РФ по месту пребывания и по месту жительства в пределах РФ" (утв. Приказом МВД России от 31.12.2017 N 984) ПРЯМО УКАЗАНО, что в отношении несовершеннолетних граждан со дня рождения и до достижения ими 14-летнего возраста ЗАЯВИТЕЛЕМ является ОДИН из родителей!
Поэтому любые такие требования хоть от "паспортисток" (при УК, ТСЖ, и прочих жил. конторах), а также сотрудников МФЦ и тер. отделов МВД - просто НЕЗАКОННЫ и являются превышением их должностных полномочий (или злоупотреблением ими).
Их можно (и успешно) обжаловать вышестоящему руководству, в органе МВД, прокуратуре и в суде. Если не жаль времени и нервов!
(А может быть проще и быстрее согласится - все зависит от конкретно Вашей ситуации и от собственного настроя. Выбор за Вами.)
Удачи.