Нужно ли согласие второго родителя при регистрации детей по месту проживанию другого?

Нет, согласия второго родителя НЕ требуется!
Вообще-то, действительно, согласно п. 3. ст. 65 СК РФ "Место жительства детей при РАЗДЕЛЬНОМ проживании родителей устанавливается соглашением родителей. При отсутствии соглашения спор между родителями разрешается судом, ..".
Т. е. если родитель посчитает, что изменение места проживания (и регистрации) ребенка (ВМЕСТЕ с матерью) как-то нарушает его родительские права, то ...дорогу в суд он и сам найдет.
А регистрирующие органы (сейчас –это тер. подразделения по вопросам миграции МВД РФ) НЕ НАДЕЛЕНЫ полномочиями контролировать соблюдение семейного законодательства и родительских прав (в ходе процедур регистрационного учета граждан), а также требовать от заявителей документы по своему усмотрению и сверх перечня, установленного нормативно.
При этом ПОРЯДОК регистрации несовершеннолетних по месту регистрации их родителей (п. 28 и 29 Правил регистрации ...утв. Постановлением Правительства РФ от 17.07.1995 г. N 713) НЕ ПРЕДУСМАТРИВАЕТ предъявления каких-либо заявлений от второго родителя.
И в п. 2.2." Адм. Регламента МВД ...по регистрационному учету граждан РФ по месту пребывания и по месту жительства в пределах РФ" (утв. Приказом МВД России от 31.12.2017 N 984) ПРЯМО УКАЗАНО, что в отношении несовершеннолетних граждан со дня рождения и до достижения ими 14-летнего возраста ЗАЯВИТЕЛЕМ является ОДИН из родителей!
Поэтому любые такие требования хоть от "паспортисток" (при УК, ТСЖ, и прочих жил. конторах), а также сотрудников МФЦ и тер. отделов МВД - просто НЕЗАКОННЫ и являются превышением их должностных полномочий (или злоупотреблением ими).
Их можно (и успешно) обжаловать вышестоящему руководству, в органе МВД, прокуратуре и в суде. Если не жаль времени и нервов!
Удачи.