Найдите экстремумы функции y=x^4-2x^2+2

Question

Найдите экстремумы функции y=x^4-2x^2+2

Максим22222222 Знаток (276), закрыт 4 года назад

Answer 1

y=x^4-2x^2+2=(x^2-1)+1
Экстремальные точки x=-1, x=1, x=0
Перед x^4 k=1>0 (функция убывает, возрастает, убывает, возрастает)
Убывает на (-∞;-1] и на [0;1]
Возрастает на [-1;0] и на [1;+∞)
x=±1 точки минимума y(±1)=1
x=0 точка максимума y(0)=2

Answer 2

y' = 4x³−4x
y' = 0
4x³−4x = 0
4x(x²−1) = 0
x₁ = 0
x²−1 = 0
x² = 1
x₂ = −1
x₃ = 1
x∈(−∞;−1) ⇒ 4x(x²−1) < 0 ⇒ y' < 0
x∈(−1;0) ⇒ 4x(x²−1) > 0 ⇒ y' > 0
x∈(0;1) ⇒ 4x(x²−1) < 0 ⇒ y' < 0
x∈(1;+∞) ⇒ 4x(x²−1) > 0 ⇒ y' > 0
x = −1 и x = 1 - точки минимума
x = 0 - точка максимума
y(−1) = (−1)⁴−2(−1)²+2 = 1−2+2 = 1 - минимум функции
y(1) = 1⁴−2⋅1²+2 = 1−2+2 = 1 - минимум функции
y(0) = 0⁴−2⋅0²+2 = 2 - максимум функции