Как правильно писать? Обидится или обидется?

Правильное написание – ОБИДИТСЯ.

В безударном положении в личном окончании глагола пишем Е, если глагол 1-го спряжения, И, если глагол 2-го спряжения. По вопросу к глаголу тип спряжения не определяется.

Если у глаголов личные окончания безударные, то тип спряжения определяем по концовке его неопределённой формы (инфинитива).

Вот правило на табличке из Интернета.

Как видите, среди 11 глаголов-исключений на -АТЬ и -ЕТЬ, относящихся ко 2-му спряжению, есть глагол ОБИДЕТЬ. Глагол ОБИДЕТЬСЯ – производный от глагола ОБИДЕТЬ (образован от него при помощи возвратного суффикса (постфикса) –СЯ), поэтому он тоже является исключением.

Так как глагол ОБИДЕТЬСЯ – это глагол 2-го спряжения, то в его личных окончаниях пишем гласную И: обидИшься, обидИтся, обидИмся, обидИтесь.