Нужно люди обособлять «как бельмо в глазу»?
Без кисета как без рук – тут же запятая не нужна?
Сидела как на иголках – а здесь тоже?
Я так поняла, что в обоих случаях не надо, так это фразеологизмы.
«как бельмо в глазу» тоже же является фразеологизмом, почему в тексте произведения тогда ставится запятая?

Комедия А. С. Грибоедова "Горе от ума" после своего выхода в 1824 году была буквально разобрана на крылатые фразы и выражения. Вероятно, и фразеологизм "как бельмо в глазу" появился вместе с самим произведением.
Как известно, фразеологизм - устойчивое сочетание слов. В тексте комедии он обособлен, потому что тогда ещё не успел утвердиться и был новоиспечённым для общества XIX века. Но со временем данный оборот полюбился публике и вошёл в общее употребление, то бишь стал фразеологизмом.
Сейчас выражение "как бельмо в глазу", как и "без кисета как без рук", как и "сидела как на иголках", обособления не требует.