Обьясните по формуле . ГЕОМЕТРИЯ 9 класс. РАДИУС ВПИСАННОЙ И ОПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ В ПРАВИЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ

Центр вписанной окружности в равносторонний треугольник совпадает с центром описанной окружности, так как все высоты являются одновременно медианами, биссектрисами и медиатриссами и пересекаются в одной точке. Отрезок, соединяющий центр со стороной перпендикуляром, является радиусом вписанной окружности, а отрезок, соединяющий центр с вершиной угла – радиусом описанной окружности. Оба они зависят только от стороны треугольника и выражаются следующими формулами. (рис. 97.4,97.5) R=a/√3 r=a/(2√3)
Источник: https://geleot.ru/education/math/geometry/calc/triangle/equilateral_triangle_side

Ты просто запомни, что в правильном треугольнике R это 2/3 высоты
а r это 1/3 высоты.
Ищешь высоту через синус 60 и умножаешь её на 2/3 или 1/3

h=a*sin60=a*v3/2=av3/2

R=av3/2*2/3=av3/3 здесь можно умножить на v3 числитель и знаменатель тогда получится а/v3

r=av3/2*1/3=av3/6 здесь тоже домножаем на v3 и получаем а/2v3

Давай попробуем так.

Нарисуй правильный треугольник. Сторона равна "а".
Нарисуй вписанную окружность и описанную окружность.

Проведи высоту. В таком треугольнике высота является и медианой, и биссектрисой.
Можешь провести три таких высоты. Они же и медианы.
Точка их пересечения ---центр и одной, и другой окружности.

Но ты ведь знаешь, что точка пересечения медиан делит медиану на два отрезка в отношении 2:1 считая от вершины.

Значит, две части этой высоты (медианы) ---это радиус описанной окружности, а одна часть -- радиус вписанной окружности.

Тепрерь посчитаем, чему же равна высота. Получился прямоугольный треугольник с углами 30 и 60 градусов.
Против угла в 30 градусов лежит катет, в два раза меньший гипотенузы.

Можешь по теореме Пифагора посчитать, если гипотенуза равна "а", то катет против угла 30 гр равен 1/2 *а, а катет против угла в 60 градусов равен ---1/2* а* v3
a^2 = (a/2)^2 + x^2
x^2 = a^2 - a^2/4
x^2 = 3a^2 /4
x = av3 : 2
Итак высота правильного треугольника со стороной "а" равна 1/2*аv3.

Две трети этой высоты ---R = 2/3 * 1/2 *a*v3 = 1/3 *a*v3
Одна треть этой высоты ---r = 1/3 * 1/2 * a*v3 = 1/6 * a *v3

Правильный треугольник. В нем высоты, медианы и биссектрисы совпадают и равны.
Центр такого треугольника находится на пепесечении высот, медиан и биссектрис и расстояния от этого центра до вершин треугольника равны и равны радиусу описанной окружности => надо найти эти расстояния (радиус).
а - сторона треугольника
По т. Пифагора:
h = V(a^2 - (a\2)^2) = V(3a^2 \4) = aV3\2 - высота треугольника
Точка пересечения высот делит высоту в отношении 2 : 1, считая от вершины =>
2 : 1 = 2x : x ------> 2x + x = 3x - вся высота =>
aV3\2 = 3x ----->
x = (aV3\2) \ 3 = aV3\6 - составляет 1 часть высоты =>
R = 2x = 2 * aV3\6 = aV3\3 = или = a\V3 - радиус описанной окружности