Можно ли встать на учёт в центр занятости в Краснодарском крае, если я живу тут,

нет, нельзя. можно для поиска работы обратиться, но на учет не поставят, безработной не признают и пособие по безработице платить не будут

Обратиться в Центр Занятости для поиска работы вы можете в любом городе ( без выплат). Для получения выплат — в ЦЗ только по месту постоянной регистрации (прописке в паспорте)