Можно ли перенести папку с установленной игрой на диск D на какое-то время, а потом вернуть обратно?

нет

Можно, но не надо её запускать, пока она на другом диске.

Прогресс хранится в документах. Не в папке с игрой. Все норм будет. Но как сказали выше, не надо запускать

не потеряется.
если идет речь о стиме то тоже не потеряется. иногда файлы с прогрессом могут лежать в папке "имя пользователя\документы" и им будет пофиг на ц или д игра лежит. если игра имеет онлайн аккаунт то прогресс вообще никак потеряться не может. если конечно пароль от этого аккаунта не потеряешь и не сможешь его восстановить.

по технической составляющей могут возникнуть проблемы, но в любом случае если игра имеет клиент как к примеру геншин импакт или танки или лига легенд. то можно запросить проверку файлов и их клиент починит если они потерялись или повредились

можно и на постоянку ее перенести, создав ссылку в качестве исходного каталога. Для игры ее барахло будет как и не переносилось.

можно и переносить и запускать

За прогресс в игре отвечают сейвфайлы. Найди где они хранятся и их сохраняй. В разных играх по разному в каких то в документах в каких то в самой папке с игрой или вообще в другом месте. С самой игрой тоже по разному какую то можно перекидывать без проблем а какую то только заново устанавливать. Всё индивидуально.