Что написать в объяснительной

Родственник умер или знакомый или сам

Просто, по семейным обстоятельствам. Конкретика никого не волнует

Объяснительная- это когда работодатель Вас просит обосновать какой-либо Ваш поступок. Отпуск за свой счёт в объяснительной не нуждается, отпрашивайтесь на словах и пишите заявление. Формулировка подойдёт любая- по семейным обстоятельствам, в связи с походом к врачу и тд

не существует никаких "отгулов" и не надо никакие "объяснительные" писать.
на отпуск без сохранения зарплаты пишется заявление, например:
"Прошу предоставить по семейным обстоятельствам отпуск без сохранения зарплаты на один день , 23 августа"
причину можно и не указывать, но, если вы не инвалид и не пенсионер, то в отпуске без сохранения зарплаты работодатель имеет право вам отказать не зависимо от того, какую причину вы укажете. Не сочтет её уважительной, откажет и будет прав.

Пиши заявление один день за свой счёт.

Прошу предоставить мне 23.08.2022 года в счёт очередного отпуска. И всё.

По семейным обстоятельствам

Без сохранения и усё. Первый раз?

Семейные обстоятельства. Да и их вы в праве не раскрывать. Настаивают на подробностях? Знайте перед вами не воспитанный идиот. А что бы без лишних вопросов, напишите что идёте к докторам на консультацию. И это называется ЗАЯВЛЕНИЕ чёрт возьми, а не объяснительная.