Можно ли в 14 лет открыть свою банковскую карту?

Открыть СЧЁТ, а не карту. Карта - просто инструмент пользования счётом.
Если ты явишься с родителями и они ПРИМУТ УЧАСТИЕ в мероприятии, то потом может оказаться, что ни ты ни они не смогут тронуть деньги с этого счёта, пока тебе не стукгнет 18 лет.
Приходи один с паспортом и с деньгами.
Внимательней оговаривай УСЛОВИЯ, которые тебе нужны - скорее всего ты ведь хочешь постояно пользоваться этим счётом?
Не надо из вежливости просто тупо кивать на всё сказанное тебе сотрудником банка.
И постарайся избегнуть слова "молодёжная" в названии твоей карты. Прицепись как репей, забудь о школьных привычках и правилах, спрашивай, какие есть ДРУГИЕ варианты счетов, доступных в твоём возрасте, проси показать тебе инструкции и т.д.