Возможно ли уехать за границу не служа в армии? Прежде чем сделать загранпаспорт меня попросят показать военный билет?

Да.

иди в армию, там и отправят за границу

Не пустят, но границы у россии большие и границы с Казахстаном например охраняются мало...

Попросят билет на загранпаспорт

Могут и ничего не попросить, но в любом случае, они обязаны запрашивать информацию в военкомате. Если Вы косите, то Вам и военный билет не поможет..
Если Вы не служили, понятно, что у Вас нет военного билета. Но у Вас должно быть приписное (как у призывника). Потом, военкомат может выдать отдельную справку, что в настоящее время Вы призыву не подлежите (по крайней мере, раньше выдавал).
Если Вы прямо сейчас не призываетесь (например, есть отсрочка) - проблем нет никаких. Получайте загран и езжайте куда хотите.

В непризывной период снимайтесь с военного учета и катитесь, куда хотите, точнее - где примут.