Ряд Тейлора, радиус сходимости

Question

Ряд Тейлора, радиус сходимости

SalotSar Знаток (297), закрыт 1 год назад

Answer 1

Папа Высший разум (121945) 1 год назад

Берём формулу ряда и подставляем в неё функцию и параметр:

 .
       ∞  (dⁿf)(a)
f(x) = ∑ --------- · (x - a)ⁿ
      n=0 dxⁿ · n!

Основная сложность - дифференцирование этой штуки, но по крайней мере, она бесконечно дифференцируема, и в знаменателе можно выделить полный квадрат.

 x² - 10x + 29 = (x - 5)² + 4

Заметим, что у нас как раз a = 5, такой учебный рояль в кустах.

 df                  -1⁄2                                 -3⁄2                      -3⁄2
-- = d((x - 5)² + 4)   ⁄ dx = 2(-1⁄2)(x - 5)((x - 5)² + 4)  = -(x - 5)((x - 5)² + 4) =
dx

  = -√(((x - 5)² + 4 - 4)((x - 5)² + 4)⁻³) = -√(((x - 5)² + 4)⁻² - 4((x - 5)² + 4)⁻³)

Первый коэффициент равен нулю, т.к.:

 f'(5) = 0

Далее, по мере дифференцирования по x, из знаменателя всегда будет выделяться множитель 2(x - 5), поэтому, похоже, что все члены ряда будут равны нулю. Кроме нулевого, который равен

 f(5) = 1/√4 = 1/2

Весь ряд состоит из этого одного слагаемого.

SalotSarЗнаток (297) 1 год назад

нет там полного квадрата

Папа Высший разум (121945) SalotSar, есть, и очень удобный. Он нам весь ряд сводит к одному слагаемому. Что там ещё, радиус сходимости? Берём формулу Даламбера, она включает отношение n-й производной к (n+1)-й, обе производные включают наш любимый ((x - 5)² + 4) в более высокой степени в знаменателе, так что по идее, это отношение стремится к 4/4 = 1, и в формуле есть ещё множитель (k + 1), поэтому пределом последовательности будет бесконечность. Но для преподавателя, наверное, надо формально доказать.

SalotSarЗнаток (297) 1 год назад

при последующем дифференцировании выделяется (x - 5), но не во всех слагаемых, дальше мы ведь произведение дифференцируем. Вот вторая производная уже отлична от нуля.

Папа Высший разум (121945) SalotSar, в знаменателе всегда будет эта хрень в какой-то степени, и из неё выделяется множитель 2(x - 5). Без вариантов.

SalotSarЗнаток (297) 1 год назад

С вариантами. Дифференциал произведения дает второе слагаемое, где (x-5) не выделяется. Вторая производная равна -1/8.

Папа Высший разум (121945) SalotSar, а там нельзя просто переменную заменить и дифференцировать по ней? y = (x - 5)². А так, вообще, получается жесть. Третья производная - опять ноль. Четвёртая - не ноль, а +1/48 где-то. Придётся искать закономерность.

ИннаВысший разум (113085) 1 год назад

Очень странно получается. Если функция раскладывается в ряд с единственным ненулевым членом, значит, функция тождественно равна этому ненулевому члену. Получается, функция, содержащая переменную, у Вас почему-то тождественно равна константе (1/2). Но это же неверно.

Папа Высший разум (121945) Инна, ага, мы уже обсудили.

Answer 2

Все намного проще. Можно использовать готовое разложение для функции f(u)=(1+u)^a в ряд Маклорена

Советую проверить вычисления, могла что-то потерять.