Mail.ruПочтаМой МирОдноклассникиВКонтактеИгрыЗнакомстваНовостиКалендарьОблакоЗаметкиВсе проекты

Ряд Тейлора, радиус сходимости

SalotSar Знаток (296), закрыт 1 год назад
Лучший ответ
Папа Высший разум (120930) 1 год назад
Берём формулу ряда и подставляем в неё функцию и параметр:
 .
∞ (dⁿf)(a)
f(x) = ∑ --------- · (x - a)ⁿ
n=0 dxⁿ · n!
Основная сложность - дифференцирование этой штуки, но по крайней мере, она бесконечно дифференцируема, и в знаменателе можно выделить полный квадрат.
 x² - 10x + 29 = (x - 5)² + 4 
Заметим, что у нас как раз a = 5, такой учебный рояль в кустах.
 df                  -1⁄2                                 -3⁄2                      -3⁄2
-- = d((x - 5)² + 4) ⁄ dx = 2(-1⁄2)(x - 5)((x - 5)² + 4) = -(x - 5)((x - 5)² + 4) =
dx

= -√(((x - 5)² + 4 - 4)((x - 5)² + 4)⁻³) = -√(((x - 5)² + 4)⁻² - 4((x - 5)² + 4)⁻³)
Первый коэффициент равен нулю, т.к.:
 f'(5) = 0 
Далее, по мере дифференцирования по x, из знаменателя всегда будет выделяться множитель 2(x - 5), поэтому, похоже, что все члены ряда будут равны нулю. Кроме нулевого, который равен
 f(5) = 1/√4 = 1/2 
Весь ряд состоит из этого одного слагаемого.
SalotSarЗнаток (296) 1 год назад
нет там полного квадрата
Папа Высший разум (120930) SalotSar, есть, и очень удобный. Он нам весь ряд сводит к одному слагаемому. Что там ещё, радиус сходимости? Берём формулу Даламбера, она включает отношение n-й производной к (n+1)-й, обе производные включают наш любимый ((x - 5)² + 4) в более высокой степени в знаменателе, так что по идее, это отношение стремится к 4/4 = 1, и в формуле есть ещё множитель (k + 1), поэтому пределом последовательности будет бесконечность. Но для преподавателя, наверное, надо формально доказать.
SalotSarЗнаток (296) 1 год назад
при последующем дифференцировании выделяется (x - 5), но не во всех слагаемых, дальше мы ведь произведение дифференцируем. Вот вторая производная уже отлична от нуля.
Папа Высший разум (120930) SalotSar, в знаменателе всегда будет эта хрень в какой-то степени, и из неё выделяется множитель 2(x - 5). Без вариантов.
SalotSarЗнаток (296) 1 год назад
С вариантами. Дифференциал произведения дает второе слагаемое, где (x-5) не выделяется. Вторая производная равна -1/8.
Папа Высший разум (120930) SalotSar, а там нельзя просто переменную заменить и дифференцировать по ней? y = (x - 5)². А так, вообще, получается жесть. Третья производная - опять ноль. Четвёртая - не ноль, а +1/48 где-то. Придётся искать закономерность.
ИннаВысший разум (112691) 1 год назад
Очень странно получается. Если функция раскладывается в ряд с единственным ненулевым членом, значит, функция тождественно равна этому ненулевому члену. Получается, функция, содержащая переменную, у Вас почему-то тождественно равна константе (1/2). Но это же неверно.
Папа Высший разум (120930) Инна, ага, мы уже обсудили.
Остальные ответы
Инна Высший разум (112691) 1 год назад
Все намного проще. Можно использовать готовое разложение для функции f(u)=(1+u)^a в ряд МаклоренаСоветую проверить вычисления, могла что-то потерять.
Похожие вопросы