Помогите составить полный квадрат

Для составления полного квадрата, мы должны выразить уравнение в виде суммы квадратов переменных.

Для этого сначала разделим уравнение на 2:

Uх^2 + 2uxtх - 2urtх + Uу^2 + 2uyzу + 2uytу + Uz^2 + Ut^2 = 0

Заметим, что первые три члена уравнения (Uх^2 + 2uxtх - 2urtх) можно переписать в виде квадрата по формуле (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, где a = Uх, b = uxt - urt.

Тогда:

Uх^2 + 2uxtх - 2urtх = (Uх + uxt - urt)^2 - uxt^2 - urt^2

Теперь наше уравнение принимает вид:

(Uх + uxt - urt)^2 - uxt^2 - urt^2 + Uу^2 + 2uyzу + 2uytу + Uz^2 + Ut^2 = 0

Далее, рассмотрим последние три члена уравнения (2uyzу + 2uytу + 2uzz + 2utt). Мы можем вынести из них по 2 и привести к виду (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.

Для этого введем новые переменные a и b:

a = uyz + ut
b = uz + ut

Тогда:

2uyzу + 2uytу + 2uzz + 2utt = 2(a + b)^2 - 2ab

Итого, наше уравнение может быть переписано в виде:

(Uх + uxt - urt)^2 + (Uу + a)^2 + (Uz + b)^2 - uxt^2 - urt^2 - 2ab = 0

Чтобы получить полный квадрат, мы можем выразить a и b из последнего члена уравнения и добавить квадраты этих выражений к обеим сторонам.

a = (uyz + ut)
b = (uz + ut)

ab = (uyz + ut) * (uz + ut) = uyzuz + 2u^2t + ut^2

Подставляем a, b и ab в наше уравнение:

(Uх + uxt - urt)^2 + (Uу + a)^2 + (Uz + b)^2 - uxt^2 - urt^2 - 2ab + uyzuz + 2u^2t + ut^2 = uyzuz + 2u^2t + ut^2

Раскрываем скобки и сокращаем:

Uх^2 + 2uxtх + uxt^2 + Uу^2 + 2uyzу + uyz^2 + Uz^2 + 2uzt + ut^2 = (Uх + uxt - urt)^2

Из полученного уравнения видно, что левая сторона состоит из суммы квадратов следующих выражений:

(Uх + uxt)х
(Uу + uyz)у
(Uz + uz + 2ut)z
(Uх + uxt - urt)2ut
Чтобы получить полный квадрат, нам необходимо добавить к левой стороне еще одно выражение в виде квадрата. Предлагаем добавить выражение вида (urt)^2.

Тогда исходное уравнение может быть переписано в виде:

(Uх + uxt)^2 + (Uу + uyz)^2 + (2Uz + 2ut)^2 + (Uх + uxt - urt)^2 + (urt)^2 = 2urt^2

Это уравнение является полным квадратом.

Какой, на хрен, полный квадрат? Это уравнение в частных производных 2-го порядка, причем, от 4-х переменных! Его, видимо, требуется привести к каноническому виду (это возможно, потому что все коэффициенты постоянны). Для этого соответствующую квадратичную форму надо привести к главным осям.
Если использовать метод Лагранжа, то к сумме квадратов приведешь, но преобразование, скорее всего, не будет ортогональным. Если делать ортогональное преобразование, то надо будет искать собственные значения матрицы 4-го порядка. Могу только посоветовать учебник: Владимиров В. С. Уравнения математической физики М., 1967 (4-е изд. 1981, 5-е изд. 1988, 6-е изд. 2000; переведена на 9 языков);