Можно ли взять в военкомат ксерокопию паспорта, а не оригинал, дабы не вляпаться в незаконное вынесение призывной

нет, отправят за паспортом

Нет, но может быть если он юридически подписан

это не решит проблему

Без паспорта у тебя документов нет. Вообще, ксерокопия показывает только, что паспорт у тебя был на момент её изготовления, а не что он у тебя есть сейчас, не утерян, не поменян и т.д.