Задача по физике

Колебательный контур, состоящий из конденсатора емкостью C и катушки индуктивности L, называется контуром LC. Для такого контура, основное уравнение колебаний можно записать следующим образом:

L * (d²q/dt²) + (1/C) * q = 0,

где q(t) - заряд на конденсаторе в зависимости от времени t, L - индуктивность катушки, C - емкость конденсатора.

В нашем случае:

L = 2 Гн
C = 2 мкФ = 2 * 10^(-6) Ф
q(0) = 200 мкКл = 200 * 10^(-6) Кл

Для решения данного дифференциального уравнения второго порядка воспользуемся подстановкой:

q(t) = Q * cos(w*t + phi),

где Q - амплитуда заряда, w - угловая частота колебаний, phi - фазовый сдвиг.

Подставляя q(t) в уравнение LC-контура, получаем:

L * w^2 * Q * cos(wt + phi) + Q/C * cos(wt + phi) = 0
Так как данное уравнение должно выполняться для всех времен t, то следующее равенство должно выполняться:

L * w^2 + 1/C = 0
Отсюда находим угловую частоту колебаний:

w^2 = 1/(LC)
w = sqrt(1/(LC)) = sqrt(1/(2210^(-6))) = sqrt(250000) = 500 рад/с

Теперь, используя начальные условия q(0) = 200 мкКл, найдем фазовый сдвиг:

200 * 10^(-6) = Q * cos(phi)

Так как амплитуда колебаний положительна, и заряд на конденсаторе равен амплитуде заряда в начальный момент времени, то фазовый сдвиг равен нулю:

phi = 0

Таким образом, уравнение q(t) примет вид:

q(t) = 200 * 10^(-6) * cos(500*t)

Теперь найдем уравнение силы тока i(t) и напряжения u(t). Сила тока i(t) равна производной заряда по времени:

i(t) = dq(t)/dt = -100 * 10^(-6) * 500 * sin(500t) = -50 * 10^(-3) * sin(500t) A

Напряжение на конденсаторе u(t) равно произведению заряда на конденсаторе на его емкость:

u(t) = q(t) / C = (200 * 10^(-6) * cos(500t)) / (2 * 10^(-6)) = 100 * cos(500t) В

Теперь найдем амплитуды колебаний силы тока и напряжения.

Амплитуда колебаний силы тока I_0 равна максимальному значению i(t):

I_0 = 50 * 10^(-3) A = 50 мА

Амплитуда колебаний напряжения U_0 равна максимальному значению u(t):

U_0 = 100 В

Итак, мы получили следующие уравнения:

q(t) = 200 * 10^(-6) * cos(500t) Кл
i(t) = -50 * 10^(-3) * sin(500t) A
u(t) = 100 * cos(500*t) В

Амплитуды колебаний силы тока и напряжения:

I_0 = 50 мА
U_0 = 100 В