Помогите решить задачу по алгебре, пожалуйста.

Question

Помогите решить задачу по алгебре, пожалуйста.

Александр Иванов Ученик (73), закрыт 11 месяцев назад

Докажите, что x^5 * y + 3 и x * y^5 + 3 не могут одновременно являться кубами натуральных чисел, при натуральных x и y.

Answer 1

Можно доказать перебором сравнений по модулю 9.
Остатки кубов по модулю 9 это {0,1,8}
Далее,
если (х∙y⁵+3)≡0(mod 9), то (y∙x⁵+3)≡3(mod 9)
если (х∙y⁵+3)≡8(mod 9), то (y∙x⁵+3)≡5(mod 9)
если (х∙y⁵+3)≡1(mod 9), то (y∙x⁵+3)≡7(mod 9)
Можно, наверное, это вывести чисто аналитически, но для этого метода надо угадать, где искать, а это надо быть либо Рамануджаном, либо прибегнуть к фактическому перебору. Поскольку я озадачил электрический компьютер и он мне это всё вычислил, то не вижу в этом ( в аналитическом выводе) смысла

Answer 2

Предположим, что существуют натуральные числа x и y такие, что x^5y+3 и xy^5+3 являются кубами натуральных чисел. Тогда мы можем записать:

x^5y+3 = a^3
xy^5+3 = b^3

где a и b - натуральные числа.

Заметим, что для любого натурального числа n верно неравенство:

n^3 < (n+1)^3

Применяя это неравенство, мы можем записать:

a^3 < (x^5y+3)^(1/3 + 1/3 + 1/3) = (x^5y^3)^(1/3) * 3^(1/3) < (x^5*y^3 + 1)^(1/3) * 3^(1/3)

Аналогично:

b^3 < (xy^5 + 3)^(1/3 + 1/3 + 1/3) = (xy^5)^(1/3) * 3^(1/3) < (x*y^5 + 1)^(1/3) * 3^(1/3)

Поднимая обе части каждого неравенства в куб, мы получим:

a^9 < 3(x^5y^3 + 1)
b^9 < 3(xy^5 + 1)

Заметим, что x^5y^3 + 1 и xy^5 + 1 не могут оба быть кратными 3, так как иначе их произведение (и, следовательно, a^9*b^9) было бы кратным 9. Но тогда одно из чисел должно быть нечетным, а значит, не может быть кубом натурального числа, так как кубом натурального числа может быть только число, которое имеет вид 2^k * m^3, где k и m - натуральные числа.

Таким образом, мы пришли к противоречию, что и доказывает, что x^5y+3 и xy^5+3 не могут одновременно являться кубами натуральных чисел, при натуральных x и y.

Answer 3

Предположим, что x^5 * y + 3 и x * y^5 + 3 являются кубами натуральных чисел. Тогда мы можем записать:

x^5 * y + 3 = a^3 (1)
x * y^5 + 3 = b^3 (2)

где a и b - натуральные числа.

Из уравнения (1) следует, что x^5 * y = a^3 - 3. Заметим, что a^3 - 3 всегда будет иметь остаток 1 при делении на 4. Действительно, для любого нечетного числа k, k^2 имеет остаток 1 при делении на 4. Тогда a^3 = (a^2)^2 * a имеет остаток 1 при делении на 4. Следовательно, x^5 * y имеет остаток 1 при делении на 4.

Аналогично, из уравнения (2) следует, что x * y^5 имеет остаток 1 при делении на 4.

Но тогда произведение x^5 * y * x * y^5 также должно иметь остаток 1 при делении на 4. Но это противоречит тому, что произведение x^5 * y * x * y^5 = x^6 * y^6 имеет остаток 0 при делении на 4.

Таким образом, предположение о том, что x^5 * y + 3 и x * y^5 + 3 являются кубами натуральных чисел, при натуральных x и y, неверно.