Помогите решить задачу по геометрии 7 класс без теоремы Пифагора и без ДП

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС:
cos(А) = sin(В) = НВ / АВ
cos(А) = НВ / 2НВ
cos(А) = 1/2
А = arccos(1/2) = π/3

Таким образом, угол А равен 60 градусов.

Теперь рассмотрим треугольник АНС:
tg(60) = АН / НС
√3 = АН / НС

Так как АВ = 2НВ, то треугольники АВН и ВНС подобны треугольнику АНС:
АН / ВН = ВН / НС
ВН² = АН × НС / 2
ВН² = 3АН² / 4 (используем, что НС = 2АН / √3)

Так как ВН² = ВВН² - НН² = АВ²/4 - АН² = 3АН²/4, то:
3АН²/4 = АВ²/4 - АН²
АВ² = 16АН²/3
АВ = 4АН/√3

Теперь мы можем выразить АС через АН:
АС² = АВ² + ВС² = 16АН²/3 + (2АН/√3)² = 16АН²/3 + 4АН²/3 = 20АН²/3
АС = (20АН²/3)^(1/2)

Таким образом, 3АС = 3(20АН²/3)^(1/2) = 4(15АН²/3)^(1/2) = 4АН × (15/3)^(1/2) = 4АН × √5

Из предыдущего получаем, что 3АС/4 = АН × √5

Таким образом, 3АС/4 = АН × √5, что и требовалось доказать.

Видимо, вы прошли, что катет против угла 30 гр в два раза меньше гипотенузы
На этом, и только на этом всё решение.
Чертеж сделал?

Так как ВН в два раза меньше АВ , делаем вывод, что <А=30 гр
Тогда <C = 60 гр, <HBC = 30 гр

BC = 2HC
AC = 2BC
AC = 4HC
AH = AC- HC = 4HC - HC = 3HC
AC : AH = 4HC : 3HC = 4 :3
3АС=4АН.