Даны координаты вершин треугольника A(−4,2),B(−6,6),C(6,0). Вычислите и запишите ответ: Элементы аналитической геометрии

1) По теореме Пифагора |AB|=√((Ax-Bx)²+(Ау-Ву)²)=√((-4-(-6))²+(2-6)²)=2√5 (здесь и далее буквы «х» и «у» после обозначений точек маленькие (индексные))
2) Общее уравнение прямой имеет вид Ах+Ву+С=0. А уравнение прямой по двум точкам (с координатами (х₁;у₁) и (х₂;у₂)) имеет вид (x-x₁)/(x₂-x₁)=(y-y₁)/(y₂-y₁) или в общем виде x/(x₂-x₁)-y/(y₂-y₁)+(y₁х₂-x₁y₂)/((x₂-x₁)(y₂-y₁))=0. Здесь x₁=Вх=-6, х₂=Сх=6, y₁=By=6 a y₂=Cy=0. Значит уравнение прямой (стороны) ВС x/12+y/6-1/2=0 то есть х+2у-6=0
3) Как уже я написал в пункте 2 уравнение прямой имеет вид Ах+Ву+С. Так вот, {A;B} — координаты вектора нормали, то есть некоторого ненулевого перпендекулярного вектора. Так как АВ⊥СН то вектор ‾АВ→ и любой коллинеарный ему вектор будет вектором нормали прямой (высоты) СН. Возьму в качестве нормального вектора ‾АВ→/2={(Bx-Ax)/2;(By-Ay)/2}={(-6-(-4))/2;(6-2)/2}={-1;2}. Значит уравнение высоты СН -x+2y+C=0. Осталось найти коэффициент С. Раз уравнение прямой Ах+Ву+С=0 то следовательно С=-Ах-Ву и тогда, зная коэффициенты А и В, можно вместо х и у подставить координаты любой точки прямой и найти С. Очевидно что высота СН проходит через вершину С, поэтому подставляю вместо x и у её координаты: С=-6+2×0=-6. Таким образом уравнение высоты СН -х+2у-6=0 или лучше х-2у+6=0
4) Координаты точки М ((Ах+Вх)/2;(Ау+Ву)/2)=((-4+(-6))/2;(2+6)/2)=(-5;4). Теперь составляю уравнение прямой (медианы АМ) по двум точкам. Как уже я вывел в пункте 2, уравнение прямой по двум точкам имеет вид x/(x₂-x₁)-y/(y₂-y₁)+(y₁х₂-x₁y₂)/((x₂-x₁)(y₂-y₁))=0. Здесь х₁=Ах=-4, у₁=Ау=2, х₂=Мх=-5 а у₂=Му=6. Таким образом уравнение медианы АМ -x-y/4-7/2=0 то есть 4х+у+14=0
5) Выведу формулу координат точки пересечения прямых, заданных уравнениями А₁х+В₁у+С₁=0 и А₂х+В₂у+С₂=0. Из первого уравнения y=-(A₁x+C₁)/B₁. Подставляю во второе: А₂х-В₂(А₁х+С₁)/В₁+С₂=0. Отсюда х=(В₂С₁-В₁С₂)/(А₂В₁-А₁В₂). Тогда у=-(A₁(В₂С₁-В₁С₂)/(А₂В₁-А₁В₂)+C₁)/B₁=(А₁С₂-А₂С₁)/(А₂В₁-А₁В₂). Итак, координаты точки пересечения прямых, заданных уравнениями А₁х+В₁у+С₁=0 и А₂х+В₂у+С₂=0, равны ((В₂С₁-В₁С₂)/(А₂В₁-А₁В₂);(А₁С₂-А₂С₁)/(А₂В₁-А₁В₂)). Подставляю числа и нахожу координаты точки Е: ((1×6-(-2)×14)/(4×(-2)-1×1);(1×14-4×6)/(4×(-2)-1×1))=(-2;1¹/₉). 1/9≈0,111 поэтому ответ (-2;1,111)
6) Расстояние d от точки с координатами (х₀;у₀) до прямой, заданной уравнением Ах+Ву+С=0, вычисляется по формуле d=|Ax₀+By₀+C|/√(A²+B²)=|-4×1+2×2-6|/√(1²+2²)=6/√5≈2,683
7) ‾СА→{Ах-Сх;Ау-Су}={-4-6;2-0}={-10;2}, ‾СВ→{Вх-Сх;Ву-Су}={-6-6;6-0}={-12;6}. cos∠АСВ=‾СА→*‾СВ→/(|‾СА→|*|‾СВ→|)=(-10×(-12)+2×6)/(√((-10)²+2²)×√((-12)²+6²)))=11/√130≈0,964 (в знаменателе произведение длин векторов, которые находим по теореме Пифагора)
8) Составляю уравнение стороны АВ. Уравнение прямой по двум точкам x/(x₂-x₁)-y/(y₂-y₁)+(y₁х₂-x₁y₂)/((x₂-x₁)(y₂-y₁))=0. Подставляю числа: x/(-6-(-4))-y/(6-2)+(-6×2-(-4)×6)/((-6-(4))(6-2))=0, то есть -х/2-у/4-3/2=0 или лучше 2х+у+6=0. Найду координаты точки Н как точки пересечения прямых АВ и СН: координаты точки пересечения прямых, заданных уравнениями А₁х+В₁у+С₁=0 и А₂х+В₂у+С₂=0, равны ((В₂С₁-В₁С₂)/(А₂В₁-А₁В₂);(А₁С₂-А₂С₁)/(А₂В₁-А₁В₂))=((-2×6-1×6)/(1×1-2×(-2));(2×6-1×6)/(1×1-2×(-2))=(-3³/₅;1¹/₅).‾АМ→{Мх-Ах;Му-Ау}={-5-(-4);4-2}={-1;2}, ‾СН→{Нх-Сх;Ну-Су}={-3³/₅-6;1¹/₅-0}={-9³/₅;1¹/₅}.cos(АМ^СН)=|cos(‾АМ→^‾СН→)|=|‾АМ→*‾СН→|/(|‾АМ→|*|‾СН→|)=(-1×(-9³/₅)+2×1¹/₅)/(√((-1)²+2²)×√((-9³/₅)²+(1¹/₅)²)))=7/√449≈0,330=0,33 (в знаменателе произведение длин векторов, которые находим по теореме Пифагора)
Напоминаю что иксы и игреки после обозначений точек должны быть индексными. Черта‾ и стрелка → это обозначение вектора. Вектор обозначается стрелкой сверху, но её нельзя напечатать...