ОГЭ по математике, помогите решить!

monoickenco
Вопрос по геометрии:

Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD соответственно равны 8 и 10 а основание 2. биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. найдите площадь трапеции.

Подробно пожалуйста.

Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?

Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок - бесплатно!

ПОЖАЛОВАТЬСЯbookmark_border
03.01.2016 15:05 ГЕОМЕТРИЯ remove_red_eye 9409 thumb_up 18
Ответы и объяснения 1

medrifap
medrifap
S=½•(AB+CD)•BC=½•8+10•2=½•36=18.

Первым шагом можно построить прямую MN, параллельную AD. Она является средней линией трапеции (проходит через середину боковой стороны и параллельна основанию, хотя для строгости лучше сослаться на теорему Фалеса). Получается, что

1. 2 MN = BC + AD = 2 + AD
2. CN = ND = 10/2 = 5

Теперь можно заметить, что углы NMD, NDM и MDA равны (поскольку MN || AD и MD — биссектриса угла D). Тогда треугольник MND обязан быть равнобедренным и, соответственно, MN = ND = 5. С другой стороны, MN — средняя линия, поэтому
10 = 2 MN = BC + AD = 2 + AD
AD = 10 - 2 = 8

Теперь нашей целью будет найти высоту трапеции. Это можно сделать по-разному, я приведу два способа: «грубый» и «элегантный».

«Грубый» способ (первый рисунок).
Достроим высоты BG и DH (конкретно на рисунке точка G оказалась слева от A, но это ни на что не влияет и рисунок мог быть другим, так что G лежала бы между A и D). Тогда имеем четыре уравнения

1. BC + CH = AG + AD <=> CH = 6 + AG (потому что GBHD — прямоугольник)
2. BG = DH (по той же причине)
3. BG² = AB² - AG² <=> BG² = 64 - AG² (теорема Пифагора)
4. DH² = DC² - CH² <=> DH² = 100 - CH² (она же)

Отсюда получаем уравнение на AG:
64 - AG² = 100 - (6 + AG)² <=> 12 AG = 0 <=> AG = 0

Отсюда выходит, что трапеция на самом деле прямоугольная с прямыми углами A и B, поэтому ее высота равна AB. Итого площадь получается как произведение полусуммы оснований (средней линии) на высоту, то есть
S = MN * AB = 40


«Элегантный» способ (второй рисунок).
Достроим треугольник AMN до параллелограмма AMNK (то есть так, чтобы AM || NK). Тогда NK = AM = 4 и KD = AD - MN = 8 - 5 = 3
Тогда можно заметить удивительное:
NK² + KD² = 16 + 9 = 25 = DN²

В таком случае, по теореме, обратной к теореме Пифагора, угол K (равный углу A) прямой, поэтому вновь получаем, что трапеция прямоугольная и имеет площадь
S = MN * AB = 40

40 кв.см
Проведи из угла В прямую BK , параллельную CD.
Получишь прямоугольный трегольник АВК с катетами 8 и 6 (египетский тр-к) и парааллелограмм BCDK со сторонами 2 и 10.

АD = 6 + 2 = 8

S = 1/2 * (8+2) * 8 = 40