Помогите решить без правила Лопиталя с объяснением пж

Конечно, давайте рассмотрим ваш предел, не используя правило Лопиталя.

Предел, который вы хотите вычислить:

lim (x -> 0) [(tg(9x) - sin(2x)) / (3x)]

Для вычисления предела воспользуемся тем, что предел sin(x) / x при x, стремящемся к 0, равен 1. Мы можем воспользоваться этим фактом для нашего предела.

Сначала рассмотрим предел внутри скобок:

lim (x -> 0) [tg(9x) - sin(2x)]

Поскольку lim (x -> 0) [tg(9x)] = 0 (тангенс при x, стремящемся к 0, также стремится к 0), и предел sin(2x) / 2x при x, стремящемся к 0, также равен 1, то:

lim (x -> 0) [tg(9x) - sin(2x)] = 0 - 0 = 0

Теперь вернемся к исходному пределу:

lim (x -> 0) [(tg(9x) - sin(2x)) / (3x)] = (0) / (3 * 0) = 0

Таким образом, предел этой функции при x, стремящемся к 0, равен 0.

Данный предел содержит неопределённость вида 0/0. Его можно вычислить по асимптотикам разложений функций tg(9x) и sin(2x) в ряды Маклорена возле нулевой точки. Первые слагаемые рядов Маклорена для синуса и тангенса:
sin x = x - x³/6 + O(x⁵)
tg x = x + x³/3 + O(x⁵)
В данном случае под знаком предела
тогда получается:
(tg9x - sin2x)/(3x) =
(9x-243x³-2x+4x³/3+O(x⁵))/(3x) =
(7x-725x³/3+O(x⁵))/(3x) = 7/3-725x²/9+O(x⁴)
В отличие от исходного предела предел
lim(x→0)(7/3-725x²/9+O(x⁴)) не содержит неопределённости и равен 2⅓. Тот же результат, а именно 7/3 = 2,(3), получается и с использованием первого замечательного предела, и с применением правила Лопиталя.
P.S. А почему это, интересно бы узнать, бредовый ответ нейросети у Вас не в бане? Что - дизлайк нажать не можете? И ещё интереснее - а зачем Вы этой тупой галиматье свой плюс поставили?