Помогите решить задачу по геометрии из цт 2020 по геометрии

Question

ABCA1B1C1  — правильная треугольная призма, у которой AB  =  3, AA1  =  3√2 Точки Р и Q  — середины ребер АВ и А1С1 соответственно. Найдите значение выражения  49/cos^2 £ где   £— угол между прямыми PQ и АВ1.

lamrie · Accepted Answer

Так как призма правильная, то ее основания - равносторонние тр-ки. То есть в треугольниках АВС и А1В1С1 все стороны равны, и равны АВ, то есть 3, и все углы равны 60°. 
Разместим призму в системе координат xyz и представим отрезки PQ и АВ1 векторами.  
1) Найдем координаты точек начала и конца этих векторов. 
PQ: начальная точка P с координатами 
х = 0; y = АВ/2 = 3/2 = 1,5; z = 0;      
конечная точка Q с координатами 
x = EQ1 = AQ1*sin(угол А) = (АС/2)*sin60° = (3/2)*sin60°    
y = HQ1 = AQ1*cos(угол А) = (АС/2)*cos60° = (3/2)*0,5 = 0,75 
z = АА1 = 3v2 
АВ1: начальная точка А с координатами 
x = 0; y = 0; z = 0; 
конечная точка В1 с координатами  
x = 0; y = АВ = 3; z = АА1 = 3v2 
2) Определим координаты векторов PQ и АВ1 как разность координат конечных и начальных точек. 
Вектор PQ: 
x = (3/2)*sin60°-0 = (3/2)*sin60° 
y = 0,75-(-1,5) = -0,75 
z = 3v2-0 = 3v2   
Вектор АВ1: x = 0-0 = 0; y = 3-0 = 3; z = 3v2-0 = 3v2; 
3) Косинус угла между вектроами равен скалярному произведению векторов, поделенному на произведение модулей векторов.  
3.1) Скалярное произведение векторов равно сумме произведений одноименных координат. PQ*АВ1 = ((3/2)*sin60°)*0 + (-0,75)*3 + (3v2)*(3v2) = 0 - 2,25 + 18 = 15,75 
3.2) Модуль вектора равен квадратному корню из суммы координат, возведенных в квадрат. 
Вектор PQ:  
((3/2)*sin60°)^2 = (9/4)*(sin60°)^2 = 1,9486; (-0,75)^2 = 0,5625; (3v2)^2 = 18. Суммируем: 1,9486 + 0,5625 + 18 = 20,511, извлекаем корень: v20,511 = 4,529 
Вектор АВ1: 0^2 + 3^2 + (3v2)^2 = 0+9+18=27, извлекаем корень: v27 = 5,195  
3.3) Тогда косинус угла между векторами равен: 15,75/(4,529*5,195) = 0,6699 (округленно). 
Итак, косинус угла между векторами PQ и АВ1 равен 0,6699. Зачем его возводить во вторую степень, а потом 49 делить на эту величину - не знаю. Но вот эта величина: 49/(0,6699^2) = 109,188 
Проверь вычисления: я мог сделать чисто технические ошибки в вычислениях (не то или не на то умножил, набрал другую цифру и т.п.) - но ход решения, думаю, правильный.