Решить уравнение, используя алгебраическую форму записи комплексных чисел.

Примем z = x + yi, где x и y - вещественные числа, а i - мнимая единица с свойством i^2 = -1.

При возведении z в квадрат, мы получаем:

(z)^2 = (x + yi)^2 = x^2 + 2xyi + (yi)^2 = x^2 + 2xyi - y^2,

поскольку i^2 = -1. Теперь, приравнивая вещественные и мнимые части с обеих сторон исходного уравнения, получаем два отдельных уравнения:

x^2 - y^2 = 21 (1),
2xy = -20 (2).

Из уравнения (2) можно выразить y через x:

y = -20/(2x) = -10/x.

Подставляя это в уравнение (1), мы получаем:

x^2 - (-10/x)^2 = 21,

упрощаем это и получаем:

x^4 - 100 = 21x^2.

После перестановки членов мы получаем квадратное уравнение относительно x^2:

x^4 - 21x^2 - 100 = 0.

Пусть u = x^2. Тогда уравнение преобразуется в:

u^2 - 21u - 100 = 0.

Это квадратное уравнение, которое может быть распределено как:

(u - 25)(u + 4) = 0.

Таким образом, u = 25 или u = -4. Но поскольку u представляет x^2, а x - вещественное число, мы исключаем отрицательное решение. Тем самым, x^2 = 25, что дает нам два возможных значения для x:

x = 5 или x = -5.

Используя связь y = -10/x, находим соответствующие значения для y:

Для x = 5:

y = -10/5 = -2.

Для x = -5:

y = -10/-5 = 2.

Следовательно, два решения для z:

z = 5 - 2i или z = -5 + 2i.