Мировой суд не направил мою кассацию в установленные сроки по назначению, каковы мои действия в дальнейшем.

Если судья не отправил кассационную жалобу, в первую очередь обратитесь к нему с просьбой объяснить причину такого решения. Если полученный ответ не удовлетворяет Вас, Вы можете обратиться в вышестоящую инстанцию и оспорить решение суда.

Может в кассации косяки были, может кассатку не отправили другой стороне, может что то еще...Если все было в норме, то краткую жалобу председателю суда подайте

мировых судов не существует

Ждать, когда направят или подать жалобу председателю. Неужели это настолько неочевидно, что нужно спросить?