Можно ли самому завести наручные часы, если не носил их пять лет, или нужно нести в ремонт?

Завести то можно, но лучше заменить прокладку на крышке и смазать

Там в ремонте как-то по особенному заводят?
Точно так же и заводят.

Когда часы лежали и не ходили, происходит загрязнение масла в часах.
Завести можно, но как они будут ходить не известно. Лучше сдать для чистки и замене масла.
Вообще механические часы испокон века рекомендуется сдавать в чистку каждый год. Так значительно продлиться общий срок их жизни.
Знаете в чём секрет извесности известных швейцарских часов? В очень большой их стоимости. Мало кто мог их купить, а потому очень и очень бережно относились и строго соблюдали инструкции по эксплуатации и регулярной отдавали для чистки.

Заводи. Не бойся.