Выпуклость и вогнутость графика функции

дравствуйте, в учебнике пишут что функция выпуклая если двойная производная меньше нуля, почему? Можно это как-то доказать?

Рассмотрим функцию f(x). Её двойная производная обозначается как f''(x).

Выпуклость и вогнутость:
1. Выпуклая функция: Если f''(x) > 0 для всех x в определенном интервале, то функция f(x) называется выпуклой на этом интервале.
2. Вогнутая функция: Если f''(x) < 0 для всех x в определенном интервале, то функция f(x) называется вогнутой на этом интервале.

Доказательство для выпуклости:

Предположим, у нас есть функция f(x), и f''(x) > 0 для всех x в определенном интервале.

1. Определение выпуклости: Пусть x1 и x2 — две точки на графике функции, где x1 < x2.
2. Определение производной: По определению, производная f'(x) показывает скорость изменения функции. Если f''(x) > 0, то f'(x) возрастает.
3. Предположим, что наша функция f(x) не является выпуклой. Тогда существует точка x3 между x1 и x2 такая, что значение функции f(x3) лежит ниже касательной, проведенной к графику функции в точке x1 или x2.
4. Это означает, что угол наклона касательной в точке x3 больше угла наклона касательной к графику в точке x1 или x2, что противоречит нашему предположению о том, что f'(x) возрастает для x1 < x2 при f''(x) > 0.

Таким образом, мы пришли к противоречию, что подтверждает, что функция выпуклая, если её двойная производная положительна.

Аналогичное рассуждение можно провести для вогнутости, где результат будет противоположным.

Это доказательство является довольно общим и исходит из определений производных и геометрического значения выпуклости и вогнутости.