Помогите с алгеброй пожайлуста 10 класс

Конечно, давайте решим это задание с помощью математической индукции. Мы хотим доказать, что для любого натурального числа \( n \), сумма первых \( n \) натуральных чисел равна \( \frac{n(n+1)}{2} \).

**База индукции (n=1):**
Проверим утверждение для \( n=1 \):
\[ 1 = \frac{1(1+1)}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]
Утверждение верно для \( n=1 \).

**Шаг индукции:**
Предположим, что утверждение верно для \( n=k \), то есть:
\[ 1+2+...+k = \frac{k(k+1)}{2} \]
Теперь докажем, что утверждение верно для \( n=k+1 \):
\[ 1+2+...+k+(k+1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1) \]
\[ = \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} \]
\[ = \frac{(k+1)(k+2)}{2} \]
\[ = \frac{(k+1)((k+1)+1)}{2} \]
Таким образом, утверждение верно для \( n=k+1 \).

Поскольку утверждение верно для \( n=1 \) и мы показали, что если оно верно для \( n=k \), то оно верно и для \( n=k+1 \), мы можем сделать вывод, что утверждение верно для всех натуральных чисел \( n \).

Таким образом, сумма первых 100 натуральных чисел действительно равна \( \frac{100(100+1)}{2} \). Это и есть доказательство с помощью математической индукции.