Помогите ДЗ по геометрии

Question

Помогите ДЗ по геометрии

Katana Benzo Знаток (324), закрыт 1 год назад

Докажите обратную теорему: Каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе.

Answer 1

Доказательство обратной теоремы:

Пусть дан угол ABC и точка D внутри угла, равноудалённая от сторон угла (то есть AD перпендикулярно AB и AD перпендикулярно BC). Нужно доказать, что AD - это биссектриса угла ABC.

1. Построим перпендикуляры DE и DF к сторонам угла AB и BC соответственно.
2. Так как DE и DF - это перпендикуляры, то углы ADE и DFB - прямые.
3. Так как точка D равноудалена от сторон угла, то DE = DF.
4. Тогда треугольники ADE и BDF - равнобедренные (по двум сторонам и углу между ними).
5. Из свойств равнобедренного треугольника следует, что углы AED и BFD равны.
6. Значит, луч AD делит угол ABC пополам, то есть является его биссектрисой.

Таким образом, каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалённая от сторон угла, действительно лежит на его биссектрисе.

Answer 2

Давайте воспользуемся методом доказательства "от противного", чтобы доказать обратную теорему.

Предположим, что существует точка \( P \) внутри угла \( \angle ABC \), которая равноудалена от сторон \( AB \) и \( AC \), но не лежит на их биссектрисе \( AD \).

Теперь мы можем рассмотреть два треугольника: треугольник \( ABP \) и треугольник \( APC \). Поскольку точка \( P \) равноудалена от сторон \( AB \) и \( AC \), это означает, что отрезки \( BP \) и \( CP \) равны.

Теперь предположим, что \( P \) не лежит на биссектрисе \( AD \). Это означает, что угол \( \angle BPD \) не равен углу \( \angle CPD \). Поскольку отрезки \( BP \) и \( CP \) равны, а также \( BD \) и \( CD \) являются общими, то у нас есть два треугольника \( \triangle BPD \) и \( \triangle CPD \) с равными сторонами \( BP \), \( CP \) и общими \( BD \), \( CD \), но у них различные углы \( \angle BPD \) и \( \angle CPD \).

Таким образом, эти два треугольника не могут быть равными (по критерию равенства треугольников), так как у них лишь одна сторона и два угла совпадают. Это противоречит нашему изначальному предположению.

Следовательно, наше предположение о том, что точка \( P \) не лежит на биссектрисе \( AD \), неверно, и каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от его сторон, действительно лежит на его биссектрисе